Prev Next Runge45.cpp Headings

Runge45: Example and Test
Define  X : \R \rightarrow \R^n by  \[
     X_i (t) =  t^{i+1}
\] 
for  i = 1 , \ldots , n-1 . It follows that  \[
\begin{array}{rclr}
X_i(0)       & = & 0                           & {\rm for \; all \;} i \\
X_i ' (t)  & = & 1                             & {\rm if \;} i = 0      \\
X_i '(t)   & = & (i+1) t^i = (i+1) X_{i-1} (t) & {\rm if \;} i > 0
\end{array}
\] 
The example tests Runge45 using the relations above:

# include <cstddef>                 // for size_t
# include <cppad/runge_45.hpp>      // for CppAD::Runge45
# include <cppad/near_equal.hpp>    // for CppAD::NearEqual
# include <cppad/vector.hpp>        // for CppAD::vector

namespace {
     class Fun {
     public:
          // constructor
          Fun(bool use_x_) : use_x(use_x_) 
          { }

          // set f = x'(t)
          void Ode(
               const double                &t, 
               const CppAD::vector<double> &x, 
               CppAD::vector<double>       &f)
          {    size_t n  = x.size();    
               double ti = 1.;
               f[0]      = 1.;
               size_t i;
               for(i = 1; i < n; i++)
               {    ti *= t;
                    if( use_x )
                         f[i] = (i+1) * x[i-1];
                    else f[i] = (i+1) * ti;
               }
          }
     private:
          const bool use_x;

     };
}

bool Runge45(void)
{    bool ok = true;     // initial return value
     size_t i;           // temporary indices

     size_t  n = 5;      // number components in X(t) and order of method
     size_t  M = 2;      // number of Runge45 steps in [ti, tf]
     double ti = 0.;     // initial time
     double tf = 2.;     // final time 

     // xi = X(0)
     CppAD::vector<double> xi(n); 
     for(i = 0; i <n; i++)
          xi[i] = 0.;

     size_t use_x;
     for( use_x = 0; use_x < 2; use_x++)
     {    // function object depends on value of use_x
          Fun F(use_x > 0); 

          // compute Runge45 approximation for X(tf)
          CppAD::vector<double> xf(n), e(n); 
          xf = CppAD::Runge45(F, M, ti, tf, xi, e);

          double check = tf;
          for(i = 0; i < n; i++)
          {    // check that error is always positive
               ok    &= (e[i] >= 0.);
               // 5th order method is exact for i < 5
               if( i < 5 ) ok &=
                    CppAD::NearEqual(xf[i], check, 1e-10, 1e-10);
               // 4th order method is exact for i < 4
               if( i < 4 )
                    ok &= (e[i] <= 1e-10);

               // check value for next i
               check *= tf;
          }
     }
     return ok;
}


Input File: example/runge_45.cpp